Критерий Коши.

$\{x_{n}\}$ сходится $\iff \{x_{n}\}$ - фундаментальная.

$\Large \Rightarrow$ $\forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N}~~ \forall{n>N}~~ |x_{n} - a| < \dfrac{\epsilon}{2},~~~ \forall{m > N}~~ |x_{m} - a| < \dfrac{\epsilon }{2}$ $|x_{n}-x_{m}| = |(x_{n}-a) + (a - x_{m})| \leq |x_{n}-a| + |x_{m}-a| < \dfrac{\epsilon }{2} + \dfrac{\epsilon }{2} = \epsilon$ (1 часть доказана) $\Large \Leftarrow$ Докажем, что $\{x_{n}\}$ - ограничена. Пусть $\epsilon = 1,~~~ \forall{n,m>N(1)}~~ |x_{n}-x_{m}| < 1$ $L = max\{|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{[N(1)]}|, |x_{[N(1)]}|+1\} \Rightarrow \forall{n \in \mathbb{N}}~~ |x_{n}| < L$ ($\{x_{n}\}$ - ограничена) По теореме Больцано-Вейерштрасса: $\exists{\{x_{n_{k}}\}\to a}$. Докажем, что $\lim_{n \to \infty} x_{n} = a$: $|x_{n} - a| = |(x_{n} - x_{n_{k}}) + (x_{n_{k}} - a)| \leq |x_{n} - x_{n_{k}}| + |x_{n_{k}} - a| < \dfrac{\epsilon }{2} + \dfrac{\epsilon }{2} = \epsilon~~~\square$